Vector Calculus 정리 (작성중)

드문드문 쓰다보니 자꾸 까먹는다.
귀찮은 수식은 모두 정리하고 짤막하게 정리해봤다.
여기있는 대부분의 글은 위키피디아를 참조한 것이다.

목차

  1. Norm
  2. 벡터 연산
  3. 벡터 미분 연산자
  4. 벡터 적분정리
  5. 벡터 방정식
  6. 그 외 유용한 정리

1. Norm

Norm은 벡터가 가지는 스칼라 성질을 의미한다.
보통 1. 영벡터조건, 2.동질성, 3.삼각부등식 조건을 모두 만족시키는 스칼라 연산을 Norm이라 표현하지만
벡터가 방향과 크기를 가지는 값이라는 것을 고려했을 때, 벡터의 크기 성분을 곧 Norm이라 일반화하기도 한다.
그 중 CS에서 많이 쓰이는 개념은 다음의 p-Norm이다.

||x||_{p} = (\sum^{N}_{k=1}|x_{k}|)^{1/p}

p에 따라 L1-norm, L2-norm… 라고 부른다.
L1-norm을 그래프로 나타내면 마름모모양인데, p가 발산할수록 그래프는 원형에 가까워진다.
보통 L1-norm을 Manhattan-norm, Ridged-norm이라 하고
L2-norm을 Euclidean-norm, LASSO-norm이라 한다.

2. 벡터 연산

벡터의 연산으로는 크게 다음의 네 가지 종류가 있다.

  • 벡터 합 (addition)
  • 벡터 스칼라곱 (scalar multiplication)
  • 벡터 내적 (dot product)
  • 벡터 외적 (cross product)

벡터의 합과 곱은 굳이 설명할 것도 없다.
애초에 벡터는 본질적으로 선형(Linear)이다.

중요한 것은 벡터 곱(product)이다.

벡터 내적

벡터의 내적은 원소끼리의 곱을 더한 것으로 스칼라 결과를 내놓는 연산자이다.
내적은 제2코사인법칙에 따라 기준벡터에 대한 영향력으로도 볼 수 있다.

|a|*cos\theta는 곧, 기준벡터 b에 대한 벡터 a의 정사영이다.
다시 말하자면 벡터 b 관점에서의 벡터 a의 영향력이 되는 것이다.

역학적인 관점은 내버려두더라도 여기서 중요한 몇 가지 점들을 얻을 수 있다.

첫째로, 내적은 두 벡터간 방향적 유사성을 나타낸다.
이러한 이유로 내적을 이용해 코사인 유사도(Cosine Similarity)를 정의한다.

둘째로, 내적 결과가 0이라면 두 벡터는 수직(Orthogonal)이다.
이는 선형대수학에서 매우 요긴하게 활용되는 성질이다.

이 두 특징들은 내적이 코사인으로 정의되기 때문에 자명한 사실이다.

벡터 외적

벡터 외적은 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 벡터를 내놓는 연산이다.
계산 방법은 행렬식(Determinant) 계산하던 것 처럼 여인자로 구한다.
(출처: Wikipedia:Cross_product)

외적의 크기는 놀랍게도 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이이다.
그 결과 외적과 내적은 두 벡터가 이루는 각에 대해 사인이냐 코사인이냐로 나뉜다.

벡터 외적 또한 다양한 곳에서 자주 활용된다.
예를 들면, 어떤 점과 면이 있을 때, 면의 단위 벡터 a와 면과 점을 연결한 벡터 b가 있을 때
벡터 a과 b의 외적을 구하는 것은 곧 점에서 면까지의 거리를 구하는 것과 같다.
이는 |a|*|b|sin\theta 에서 벡터 a가 단위 벡터이기 때문이다.

중요한 점은 벡터 내적의 결과는 스칼라이며 벡터 외적의 결과는 벡터라는 것이다.
선형대수 연산 과정에서 행렬 곱과 벡터 내적을 혼용하여 사용하는 경우가 많은데 이게 상당히 헷갈린다.
이럴땐 단순히 행렬 곱이 벡터의 내적으로 이루어져있다고 생각하면 편하다.

4. 벡터 미분 연산자

벡터의 미분 연산자로는 크게 다음의 5가지 종류가 있다.

  • 미분 연산자 (\nabla , Del)
  • 그래디언트 (\nabla F, Gradient)
  • 라플라시안 ((\nabla \cdot \nabla) F, Laplacian)
  • 다이버전스 (\nabla \cdot F, Divergence)
  • 컬 ( \nabla \times F , Curl)

4-1. Del

</strong> \nabla [\latex]</strong></strong>은 <strong>미분 연산자(Operator)</strong>이다.</p>    <p></p>    <h4><strong>4-2. Gradient</strong></h4>    <p>[<strong>latex] <strong>\nabla</strong> F <strong>[\latex]</strong></strong>는 변화율을 나타내는 <strong>벡터</strong>이다.</p>    <p></p>    <h4><strong>4-3. Laplacian</strong></h4>    <p><strong><strong><strong>[latex]</strong></strong> ( \nabla \cdot \nabla ) F <strong>[\latex]</strong></strong>는 변화율에 대한 변화율을 나타내는(Second order) <strong>벡터</strong>이다.<br><strong>[latex] \nabla \cdot \nabla <strong>[\latex]</strong></strong>는 라플라스 연산자(Laplace Operator) 혹은 라플라시안(Laplacian)이라고 불리는 <strong>미분 연산자(Operator)</strong>이다.</p>    <p></p>    <h4><strong>4-4. Divergence</strong></h4>    <p><strong><strong><strong>[latex]</strong></strong> \nabla \cdot F <strong>[\latex]</strong></strong>는 유출량(flow)을 나타내는 <strong>스칼라</strong>이다.<br><strong><strong><strong>[latex]</strong></strong> \nabla <strong>[\latex]</strong>과의 내적</strong>으로 계산되기 때문에 다이버전스는 스칼라를 내놓는 연산이다.</p>    <p></p>    <h4><strong>4-5. Curl</strong></h4>    <p><strong><strong><strong>[latex]</strong></strong> \nabla \times F <strong>[\latex]</strong></strong>는 회전 정도를 나타내는 <strong>벡터</strong>이다.<br><strong><strong><strong>[latex]</strong></strong>\nabla<strong>[\latex]</strong>과의 외적</strong>으로 계산되기 때문에 컬은 벡터를 내놓는 연산이다.</p>    <p></p>    <h3>5. 벡터 적분정리</h3>    <p>벡터의 적분 연산자로는 크게 4가지의 종류가 있다.</p>    <p></p>    <h3>6. 벡터 방정식</h3>    <p>벡터를 이용하여 방정식을 표현할 수 있다.</p>    <p>방정식의 벡터 표기법 [latex]W^{T}*x

7. 그 외 유용한 정리

정사영

점과 직선사이의 거리


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